Fórmula AZ para la aproximación a “e” 2


Fórmula AZ para la aproximación a “e”, O la relación directa entre los tres irracionales “e”, “Phi” y “Pi”

Dibujo de unos irracionales de juerga

Espero que no me mal interpreten con eso “de irracionales”, simplemente me refiero a esos números que tantos quebraderos de cabeza dan a los estudiantes…

…y a todos en realidad.

Desde mi época de bachillerato siempre especulé sobre la posibilidad que todos los números irracionales tuvieran una estrecha relación entre sí.

Mis escasos conocimientos matemáticos de entonces, que por cierto, no se han incrementado mucho con los años, hacían que sólo fuera una especulación juvenil.

Pero hace unos meses me llevé una sorpresa de la cual todavía no termino de recuperarme, y es que esa misma escasez de conocimientos matemáticos no me deja terminar el análisis completo para saber si he descubierto una fórmula, o al menos una manera de aproximar a “e” desde “pi” y “phi”, “fi” para la notación en español.  O si por el contrario, he dicho la tontería más grande jamás inventada:

e = (2-φ)-1 + (π2+( π2+(π24 +(…+(πn”+(πn’-n)-1)-1)-1)-1
si n → ∞

En ese entonces estaba trabajando en un diseño gráfico al que quería forzar con una cierta geometría, sencillamente porque me gustan las formas geométricas que implican algún número trascendente o irracional como “Phi” o “√2”, etc., entre ellas los pentágonos, pentagramas, triángulos de lado “1”, etc. Así que siguiendo mi particular gusto, en esta ocasión me empeñé en que el logotipo estuviera contenido en un rectángulo de Euclides, de base mayor que la altura.

El hallazgo de la primera parte de la fórmula, esa a la que ahora llamo la “protofórmula” fue algo accidental al tratar de encajar diversos elementos en ese rectángulo, y al no coincidir geométricamente con lo que yo esperaba, de manera que hice varios intentos con otras figuras geométricas, pero al final no entendía por qué no ajustaban, hice otros muchos intentos por explicármelo y finalmente para tratar de meter algo de luz en el asunto, traduje las variables geométricas a una expresión algebraica, que tras realizar los cálculos me llevaron al resultado de la primera parte de la fórmula.

a = (2-φ)-1 = 2,61803398874986… lo que es aproximadamente = e-1/10

No reproduzco aquí los rectángulos y cuadrados, ni el resto de las figuras con los que “jugaba” para encajar el logotipo, pero los tengo disponibles por si alguien quisiera ver cómo me indujeron al resultado, lo que sí es muy curioso, es cómo se parece esa parte a “e”, veamos:

e = 2,718… mientras que a = 1/(2-φ) = 2,618…

De hecho es tan parecido que por el cansancio y desesperación que tenía en ese momento, de primera vista pensé que era el mismo resultado, pero luego me de cuenta que seguía faltando “un cachito”.  Para completar es espacio que quedaba sin rellenar lo hice como una variable:

e = 1/(2-φ) + x

Mi primer impulso fue hacer e = 1/(2-φ) + 1/10, pero luego me dí cuenta que e = 1/(2-φ) + 1/π^2 es una mejor aproximación, de manera que seguí haciendo algunos ensayos como los de esta tabla:

Etapa Fórmula Resultado Error de aproximación
Protofórmula e ≈(2-φ)-1 2,618033988749860 0,100247839709179
Primera propuesta e ≈(2-φ)-1 + 1/10 2,718033988749860 0,000247839709179
Ensayo con π e ≈ (2-φ)-1 + 1/ π2 2,719355172392200 0,001073343933159
2º Ensayo con π e =(2-φ)-1 + 1/ (π2 + π-2) 2,718325580689060 0,000043752230018
3º Ensayo con π e =(2-φ)-1 + (π2 + (π2+ π-3) -1) -1 2,718328900225630 0,000047071766588
Último ensayo con π e =(2-φ)-1 + (π2 + (π2+ π-24) -1) -1 2,718325580689060 0,000043752230018

Sospecho que esa parte que falta puede ser una sucesión definible de pi, una función logarítmica en base 10, o incluso una función de pi.  Sin embargo he llegado al límite de mi capacidad por múltiples razones y humildemente reconozco que se me acabaron los recursos matemáticos y algebraicos, intelectuales y otros para seguir acometiendo esta búsqueda, pido que alguien que pueda con ello, siga adelante…

Copyright © 2011, Antonio Zepeda Ibarra


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